Sea $ ABC $ un triángulo cualquiera. Sea $ D$ el punto medio de $ AB $, trazamos la mediatriz a $ AB$ que pasa por $ D$ y corta a $ CB$ en $ E$. Sea $ CF$ la bisectriz del $ ACB$. Llamemos $ G$ a la intersección de $ CF$ con la mediatriz $ DE$. Trazamos la perpendicular desde $ G$ hacia $ CB$ y la perpendicular de $ G$ hacia $ CA$. Sean $ J$ e $ I$ los puntos de intersección respectivamente.

Como $ G$ es un punto sobre la bisectriz $ CF$ y $ J$ e $ I$ son los pies de las perpendiculares desde $ G$, se tiene que $ GI = GJ$. En particular los triangulos rectangulos $ CGI$ y $ CGJ$ comparten $ CJ$, además tienen $ GI = GJ$ y $ angle CIG = angle CJG = 90º $. Así que por teorema de Pitagoras los 2 triángulos son congruentes. con $ CI = CJ.$

$ G$ es un punto sobre la mediatriz de $ AB$, así que $ AG = BG$. En los triángulos rectangulos $ AGI$ y $ BGJ$ se tiene $ AG = BG$, $ GI =GJ$, además $ GIA = angle GJB = 90º$. Nuevamente los triángulos son congruentes con $ IA = JB.$

Sabemos que $ CA = CI + IA$, así como $ CB = CJ + JB$. Por las igualdades anteriores $ CI + IA =CJ +JB$. Con lo que concluimos que $ CA = CB$. Por lo que el triángulo tiene 2 lados iguales. Como no utilizamos ninguna propiedad particular de los lados ni de los angulos del triángulo $ ABC$ podemos repetir el proceso para demostrar que $ AB = CB = CA$. Con lo que concluimos que todos los triángulos son equilateros $ blacksquare $