Problema: Sea $ triangle ABC $ un triángulo no degenerado, sea $ Gamma $ su circuncírculo. Supongamos que las bisectrices por $ A, B , C $ intersectan a $ Gamma $ en los puntos $ D, E, F $ respectivamente. Sea $ B_1 $ el punto de intersección de $ BE $ con $ DF $ y $ C_1 $ el punto de intersección de $ CF $ con $ DE $ . Demostrar que el punto medio de $ BC $ es el ortocentro de $ triangle DB_1C_1 $

Por ser bisectrices tenemos $ angle BAD =angle DAC, angle ABE = angle EBC, angle ACF = angle FCB $ Además por ángulos inscritos: $ angle FEB = angle FCB , angle ACF = angle ADF , angle CFE = angle CBE , angle ABE = angle ADE $ $ angle DAC = angle DFC , angle BAD = angle BED $

Notemos que $ angle B_1FC_1 = angle B_1EC_1 $ por lo que el $ FEC_1B_1 $ es un cuadrilátero cíclico. De este modo $ angle B_1EF = angle B_1C_1F, angle C_1FE = angle C_1B_1E $

Sea $ U $ la intersección de $ FD $ con $ BC $, $ W $ la intersección de $ DE $ con $ BC $ , $ K $ el punto medio de $ BC $ , $ T $ la intersección de $ AD $ con $ B_1C_1 $ . Queremos demostrar que $ UW $ es paralela a $ B_1C_1 $ . Para hacer esto vamos a demostrara una semejanza de $ triangle B_1TD $ con $ triangle UKD $ . Notemos que $ angle AKC $ es ángulo externo de $ angle BKA $ , así que $ angle BAK + angle ABK = angle AKC = angle UKD $ por ser ángulo opuesto. Por la suma de ángulos en un triángulo $ angle KUD = 180 – angle UKD – angle UDK = angle FED = angle B_1UB $ por ser ángulo opuesto, así que $ angle BB_1U = 180 – angle B1BU – angle BUB1 = 90º $ . Así que $ FB_1E = 90 $ por ser opuesto, además $ angle FB_1E = angle FC_1E $. Sea $ I $ el incentro de $ triangle ABC $, notemos que $ angle AIE $ es ángulo externo de $ angle BIE $, así que $ angle BAI + angle ABI = angle AIE = angle B_1IT $ por ser ángulo opuesto, $ angle ITC_1 $ es ángulo externo de $ angle ITB_1 $, así que $ angle TB_1I + angle TIB1 = angle ITC_1 = angle B_1TB $ por ser opuesto. Así que $ triangle B_1TC sim triangle UKD $ por Angulo-Angulo pues comparten $ angle UDK $ y tienen $ angle UKD = angle B_1TD $ . De este modo $ B_1T parallel UK $ en particular $ B_1C_1 parallel UW $ . Como $ KD $ es mediatriz tenemos que $ angle UKD = 90º $ y como $ B_1C_1 $ es paralela entonces $ DK perp B_1C_1 $ . Con lo que sabemos que $ DK $ es la altura desde $ D $ a $ B_1C_1 $ .

Sea $ R $ el pie de la perpendicular desde $ K $ a $ B_1C_1 $ , si demostramos que $ R, K, C_1 $ son colineales habremos terminado, pues las alturas son concurrentes.

Notemos que $ angle UKR = 180 – angle KUR – angle URK = angle EBC $. También notemos que $ KC_1CD $ es ciclico pues $ angle DC_1C = angle CKD = 90º $ . Además por ángulos inscritos $ angle EFC = angle EDC = angle C_1KC $ por el cíclico, así que $ angle C_1KW = angle UKR $. Por lo que $ R, K, C_1 $ están en una línea recta como queríamos probar y por lo tanto $ K $ es el ortocentro $ blacksquare $

Así como existe la tienda de Batman, la Olimpiada de Matemáticas también tiene su tienda. Aquí mi colección:

Sea $ ABC $ un triángulo cualquiera. Sea $ D$ el punto medio de $ AB $, trazamos la mediatriz a $ AB$ que pasa por $ D$ y corta a $ CB$ en $ E$. Sea $ CF$ la bisectriz del $ ACB$. Llamemos $ G$ a la intersección de $ CF$ con la mediatriz $ DE$. Trazamos la perpendicular desde $ G$ hacia $ CB$ y la perpendicular de $ G$ hacia $ CA$. Sean $ J$ e $ I$ los puntos de intersección respectivamente.

Como $ G$ es un punto sobre la bisectriz $ CF$ y $ J$ e $ I$ son los pies de las perpendiculares desde $ G$, se tiene que $ GI = GJ$. En particular los triangulos rectangulos $ CGI$ y $ CGJ$ comparten $ CJ$, además tienen $ GI = GJ$ y $ angle CIG = angle CJG = 90º $. Así que por teorema de Pitagoras los 2 triángulos son congruentes. con $ CI = CJ.$

$ G$ es un punto sobre la mediatriz de $ AB$, así que $ AG = BG$. En los triángulos rectangulos $ AGI$ y $ BGJ$ se tiene $ AG = BG$, $ GI =GJ$, además $ GIA = angle GJB = 90º$. Nuevamente los triángulos son congruentes con $ IA = JB.$

Sabemos que $ CA = CI + IA$, así como $ CB = CJ + JB$. Por las igualdades anteriores $ CI + IA =CJ +JB$. Con lo que concluimos que $ CA = CB$. Por lo que el triángulo tiene 2 lados iguales. Como no utilizamos ninguna propiedad particular de los lados ni de los angulos del triángulo $ ABC$ podemos repetir el proceso para demostrar que $ AB = CB = CA$. Con lo que concluimos que todos los triángulos son equilateros $ blacksquare $

Exacto!!! Una muestra de que la gente brillante de México también es educada. Observar minuto 2:45

Aventando cosas el muchacho :S

Durante el año de 1987, un grupo de matemáticos, entre ellos José Seade, Mónica Clapp y Carlos Bosch, preocupado por la educación y la difusión de las matemáticas en México, se plantean la organización de un concurso nacional de matemáticas. La finalidad era doble, se pretendía promover las matemáticas entre los jóvenes del país pero también se buscaba un mecanismo para seleccionar a los alumnos que representarían a México en la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO, por sus siglas en inglés).

México ya había participado, en 1981 y en 1987, en la IMO pero, como ya mencionamos, no existía ningún mecanismo para conformar las delegaciones. De hecho no se tiene ninguna información de cómo se eligieron los participantes en la IMO de 1981. En 1987 la IMO se realizó en Cuba y fue el Ministro de Educación cubano, durante una visita que realizó a nuestro país ese mismo año, quien invitó a México a participar en la misma. Los candidatos que representaron a México en la IMO en Cuba, fueron seleccionados entre los alumnos de las escuelas vocacionales del Instituto Politécnico Nacional y las preparatorias de la Universidad Nacional Autónoma de México debido a una petición hecha por la Secretaría de Educación Pública (SEP) a dichas instituciones.

Ese mismo año, la SEP le otorgó un voto de confianza a la Sociedad Matemática Mexicana (SMM), para que fuera ella quien organizara, difundiera y realizara la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Desde ese momento la SMM se compromete con el proyecto y organiza por primera vez el concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas (OMM). Este se celebró en la ciudad de Xalapa, Veracruz en el mes de noviembre durante el Congreso de la SMM. A los ganadores de este concurso se les preparó para competir, en la IMO en Canberra, Australia, en julio de 1988. En Australia, el alumno Antonio Peimbert gana la primera medalla de bronce para México. En 2006, Pablo Soberón obtiene en la Olimpiada Internacional realizada en Eslovenia, la primera medalla de oro para México.

Posteriormente México se une a otras olimpiadas y actualmente los ganadores del concurso nacional reciben un entrenamiento y los mejores representan a México en:

• La Olimpiada de Matemáticas de la Cuenca del Pacífico desde 1991,
• La Olimpiada Matemática de Centroamericana y El Caribe desde 1999,
• La Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas desde 1989,
• La Olimpiada Internacional de Matemáticas desde 1987.

En 2010, por primera vez, se participó (con un equipo de secundaria) en el Concurso Mundial de Matemáticas para alumnos de primaria y secundaria.

México ha sido sede de tres olimpiadas iberoamericanas (Estado de México en 1993, Guadalajara en 1997 y Querétaro en 2009), dos centroamericanas (Mérida en 2002, Colima en 2011) y una internacional (Mérida en 2005).

Concursos Nacionales de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas

En el primer concurso nacional de la OMM, asistieron únicamente los ganadores de 12 concursos regionales que se realizaron previamente. Hoy en día el comité organizador de la OMM (Olimpiada Mexicana de Matemáticas), emite una convocatoria para un concurso nacional, el cual se realiza en noviembre de cada año, en el cual participan seis alumnos de cada Estado de la República, seleccionados previamente mediante concursos estatales. Aún cuando el número de participantes de cada Estado en el concurso nacional es reducido, el trabajo que cada Estado de la República realiza para seleccionar a sus representantes al Concurso Nacional es enorme. Los delegados de los Estados organizan (previo al concurso nacional) concursos en un gran número de escuelas de su estado, imparten cursos a profesores de nivel medio y medio superior, elaboran folletos y una gran cantidad de material didáctico, todo esto con la finalidad de dar a conocer el tipo de problemas que se presentan en los concursos, pero sobre todo con la idea de cambiar la forma de enseñanza de esta disciplina. Por otro lado, toda esta organización ha contribuido a detectar un gran número de alumnos que tienen una inclinación fuerte, no únicamente por las matemáticas, sino por las ciencias exactas. Actualmente hay un número considerable de alumnos exolímpicos estudiando ciencias exactas, matemáticas, economía y distintas carreras de ingeniería. Además en muchas de las Universidades, en donde hay carreras científicas, hay profesores que alguna vez participaron en las Olimpiadas de Matemáticas.

2011
25ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
San Luis Potosí, San Luis Potosí .

2010
24ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Ensenada, Baja California.

2009
23ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Campeche, Campeche.

2008
22ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
San Carlos, Sonora.

2007
21ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Saltillo, Coahuila.

2006
20ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Zacatecas, Zacatecas.

2005
19ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Campeche, Campeche.

2004
18ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Ixtapan de la Sal, Estado de México.

2003
17ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Guanajuato, Guanajuato.

2002
16ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Colima, Colima.

2001
15ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Oaxtepec, Morelos.

2000
14ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Morelia, Michoacán.

1999
13ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Oaxaca, Oaxaca.

1998
12ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Querétaro, Querétaro.

1997
11ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Monterrey, Nuevo León.

1996
10ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Mérida, Yucatán.

1995
9ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Colima, Colima.

1994
8ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Guadalajara, Jalisco.

1993
7ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Acapulco, Guerrero.

1992
6ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
La Trinidad, Tlaxcala.

1991
5ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Oaxtepec, Morelos.

1990
4ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Guanajuato, Guanajuato.

1989
3ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Metepec, Puebla.

1988
2ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Hermosillo, Sonora.

1987
1ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Xalapa, Veracruz.

Fuente: http://erdos.fciencias.unam.mx/omm/omcc/index_txt.php

La presente lista contiene los libros fundamentales para representar a México en una Olimpiada Internacional:

Teoría de Números

• Titu Andrescu y Zuming Feng. 104 Number theory Problems. Birkhauser: Boston, 2006

• Gentile, Enzo. Aritmetica Elemental. Consejo Nacional de Investigaciones Cientificas y Tecnicas: Buenos Aires, 1985

• Hardy, G.H. An introduction to the theory of Nubers. Oxford: Great Britain, 1975

• Coons, Michael. Elementary Number Theory. University of Waterloo, 2010

• Niven y Zuckerman. An introduction to the theory of numbers. John Wiley: US, 1991

• Litvinenko y Morkovich Practicas para resolver problemas Matematicos (Algebra) . Editorial Mir Moscu: URSS, 1989

Geometria:

• Litvinenko y Morkovich Practicas para resolver problemas Matematicos (Geometria) . Editorial Mir Moscu: URSS, 1989

• Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications Inc: New York, 2007

• IPN. Geometria Dinamica. ESFM: Ciudad de México, 2002

• Castro, Jesus. Curso de Geometria Comite Nacional de Olimpiadas de Matemáticas

• Levi S. Shively . Introduccion a la geometria moderna, CECSA.

Combinatoria

• Gardner, Martin. Aha! Insight. Scientific American: New York, 1978

• Vilekin, N. ¿De cuantas Formas? Editorial Mir Moscu: URSS, 1972

• Grimaldi, Ralph. Matematicas Discreta y Combinatoria. Addison- Wesley: US, 1997

• Titu Andrescu y Zuming Feng. 102 Combinatorial Problems.

Otros:

• Engel, Arthur Problem Solving Strategies. Springer: USA, 1991

• Richar Courant y Herbert Robbins. ¿Que son las Matematicas?. Fondo de Cultura Economica: Mexico, 2010

• GOMEZ ORTEGA, J. A. (Ed.) Olimpiada de Matemáticas. 140 problemas. Seis años de éxitos. México 1993

• Cuadernos de la Olimpiada Mexicana de Matematicas

El próximo fin de Semana se llevara a cabo el concurso Pierre Fermat en el IPN, esperamos la participación de los mejores (incluyéndome).

FERMAT: Recordemos que una vez cuestiono si el teorema de Pitágoras podía funcionar al cubo:

3= al cubo (elevado ó con exponente 3)

a3 + b3 = c3 (INCORRECTO)

Después se pregunto si funcionaba con otros exponentes. La respuesta era NO!

Pero como demostrar esto. En uno de sus apuntes se encontró escrito “He encontrado como demostrar que el Teorema de Pitágoras no funciona con otros exponentes, pero el espacio en esta hoja es demasiado pequeño para escribirlo”

Esto tubo a grandes Matemáticos estudiando como comprobarlo por casi 400 años.

Cuando alguien enviaba su posible planteamiento a la IMO, se daba a los estudiantes de doctorado que encontraran el error.

Y si el error era muy grande se respondía “Hemos encontrado un pequeño error en tu planteamiento, pero el espacio en esta hoja es demasiado pequeño para escribirlo” Se burlaban de ellos.

Hubo 2 personas que creyeron encontrar la respuesta. A una se le dieron premios y reconocimientos; para después comprobar que su planteamiento era incorrecto.

El segundo se negó a recibir reconocimientos hasta que estuvieran seguros de que no había error, y como era incorrecto se quedo con las manos vacías.

Mucho después un Matemático que llevaba casi 8 años de inactividad (sin dar conferencias, sin escribir libros) pidió 3 conferencias, todos se extrañaron, pues ya habia llegado a la terrible edad de los 40 (se considera que a los 40 los Matemáticos ya no Sirven “Los jóvenes hacen y comprueban teoremas, los viejos escriben libros)

Se le concedieron las 3 conferencias, y todo perfecto; pero se rumoraba que estaba a punto de comprobar el Teorema de Fermat. Todo el auditorio se lleno, todos querían estar allí. Y así fue, comprobo el teorema de Fermat.

El libro donde público esto se titula “El Ultimo Teorema de Fermat”

También debemos decir que como era mayor de 40, no se le dio ningún premio.

BY: DaNeSuR XX

P3lUZa de SAK 3LOKOS CREW